<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 9 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2011 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627275-0

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 --
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
          Tel. (11) 3990-1810
          ~,www.scipione.com.br~,
<P>
                                I
 Dados Internacionais de Catalo-
  gao na Publicao (CIP) 
 (Cmara Brasileira do Livro,
  SP, Brasil)

Centurin, Marlia Ramos
  Matemtica na medida certa: 9 ano / Marlia Ramos
 Centurin, Jos Jakubovic. -- So Paulo: Scipione, 2009. --
 (Coleo Matemtica na medida certa)

  1. Matemtica (Ensino 
  Fundamental)
  I. Jakubovic, Jos. II. Ttulo. III. Srie.

09-01090           CDD-372.#g

          ndice para catlogo sistemtico:
<R+>
 1. Matemtica: Ensino 
  Fundamental 372.#g
<R->
<P>
Marlia Ramos Centurin

<R+>
Licenciada e bacharel em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Professora e assessora de ensino de Matemtica em diversas escolas.
 Autora de vrias obras na rea de Matemtica, entre as quais: *Contedo* e *Metodologia da 
  Matemtica*.

Jos Jakubovic

Licenciado em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Foi professor e assessor de ensino de Matemtica em diversas escolas.
  autor de vrias obras de Matemtica direcionadas ao Ensino Fundamental e Mdio.
<R->
<P>
                             III
Apresentao

  Voc conhece gente que joga vlei muito bem ou toca guitarra espetacularmente. Como  que esse pessoal se torna to bom?
  Em geral,  porque gosta do que faz e se dedica a isso.
  O gosto tem que ver com o prazer e a alegria. E a dedicao, com exerccio e persistncia. As duas coisas se ajudam: o gosto leva  dedicao e a dedicao melhora o gosto.
  Este livro foi escrito para adoar o gosto, com desafios, surpresas e invenes. E para orientar a dedicao, organizando seu estudo.
  Acrescentando a ajuda de seu professor e um pouco de gosto e dedicao (e, se faltar gosto, pondo mais dedicao), voc vai se dar bem em Matemtica. E vai perceber que esse conhecimento pode lhe ser til a vida toda.
  Os autores
<P>
<P>
                               V 
Seu livro em Braille 

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam. 
  Dicas para estudar no seu livro em braille: 
<R+>
 1 As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas. 
 2 Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille. 
 3 Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos. 
 4 Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo. 
<R->

<P>
                             VII
Sumrio Geral

Primeira Parte

<R+>
Captulo 1 -- Geometria: 
  ampliaes e redues
 1- Semelhana ::::::::::::: 1
 Encolhendo um quadriltero: 
  ao sobre semelhana ::::: 18
 2- Semelhana de 
  tringulos :::::::::::::::: 19 
 H ou no h semelhana?: 
  ao sobre semelhana ::::: 38
 3- Utilizando a semelhana 
  de tringulos ::::::::::::: 40
 4- O teorema de Tales :::: 51

Captulo 2 -- Potncias e 
  razes
 1- Potncias com expoentes 
  inteiros :::::::::::::::::: 70
 2- Propriedades das 
  potncias com expoentes 
  inteiros :::::::::::::::::: 82
 3- Raiz quadrada. Raiz 
  cbica. Raiz ensima ::::: 90
<P>
 4- Propriedades das 
  razes :::::::::::::::::::: 101
 5- Extrao e introduo 
  de fatores no radicando ::: 112
 6- Expresses com 
  razes :::::::::::::::::::: 117
 7- Racionalizao de 
  denominadores ::::::::::::: 125
 Explorando a calculadora: 
  ao sobre potncias e 
  razes :::::::::::::::::::: 134

Segunda Parte

Captulo 3 -- Equaes e 
  sistemas do 2 grau
 1- Curiosidades matemticas 
  e equaes :::::::::::::::: 137
 2- Um tipo especial de 
  equao do 2 grau ::::::: 145
 3- A frmula de 
  Bhaskara ::::::::::::::::: 153
 4- Equaes do 2 grau 
  incompletas ::::::::::::::: 177
 5- Clculo mental nas 
  equaes do 2 grau :::::: 186
<P>
                              IX
 Responda rpido: ao sobre 
  equaes do 2 grau :::::: 199
 6- Sistemas de equaes ::: 200

Captulo 4 -- Geometria e 
  medidas: comprimentos
 1- Primeiras relaes 
  mtricas no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::::: 213
 2- Outras relaes mtricas 
  no tringulo retngulo :::: 229
 Experincias com tringulos:
  ao sobre o teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 242

Terceira Parte

3- Teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 243
 4- Aplicaes do teorema 
  de Pitgoras ::::::::::::: 262
 O teorema de Pitgoras e as 
  figuras espaciais: ao 
  sobre o teorema de 
  Pitgoras :::::::::::::::: 278
 5- Trigonometria :::::::::: 283
<P>
 6- Seno, cosseno e  
  tangente :::::::::::::::::: 302
 Medio indireta de 
  alturas: ao sobre 
  trigonometria ::::::::::::: 310
 7- Valores exatos do seno, 
  do cosseno e da tangente de 
  30}, 45} e 60} ::::::::: 326
 8- Polgonos regulares 
  inscritos na 
  circunferncia :::::::::::: 340
 9- Comprimento da 
  circunferncia :::::::::::: 347

Captulo 5 -- Geometria e 
  medidas: reas e volumes 
 1- rea do retngulo e rea 
  do quadrado ::::::::::::::: 357
 2- rea do paralelogramo e 
  rea do tringulo ::::::::: 370
 3- reas de outros 
  polgonos ::::::::::::::::: 387
 Faa o seu cartaz: ao 
  sobre rea do trapzio :::: 392
 4- rea do crculo :::::::: 403
 5- Volume ::::::::::::::::: 413
 6- Volume de prismas e 
  cilindros retos ::::::::::: 424
                              XI
 Quarta Parte

Captulo 6 -- Funes
 1- Ideia de funo :::::::: 435
 2- Funo constante. 
  Funes de 1 e 
  2 graus ::::::::::::::::: 460
 3- Grfico de uma 
  funo :::::::::::::::::::: 483
 4- Grfico da funo 
  constante e da funo de 
  1 grau :::::::::::::::::: 496
 5- Grfico da funo de 
  2 grau :::::::::::::::::: 508
 Respeite o seu nmero: ao 
  sobre funes ::::::::::::: 522
 6- Mximos e mnimos :::::: 524

Quinta Parte

Captulo 7 -- Tratamento 
  da informao
 1- Estatstica: tabelas e 
  grficos :::::::::::::::::: 539
 Grficos do dia a dia: ao 
  sobre estatstica ::::::::: 572
<P>
 2- Variveis e 
  frequncias ::::::::::::::: 574
 3- Mdia aritmtica, 
  mediana e moda :::::::::::: 592

Captulo 8 -- Complementos 
  de lgebra
 1- Equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 605
 2- Problemas :::::::::::::: 614

Sexta Parte

Respostas das 
  Atividades ::::::::::::::: 625
 Sugestes de leitura ::::::: 682
<R->
<P>
                            XIII
 Como usar o livro

  Nesta obra, cada captulo  formado de pequenos tpicos e tem, em geral, a seguinte estrutura:

Teoria 

  Para ser lida pelos alunos, individualmente ou em grupo.

Atividades 

  So motivadoras e envolvem muitas situaes do dia a dia, sem artificialidade. No 6 e no 7 anos, algumas das atividades trazem ajuda para o aluno, levando-o a ler e a tomar decises autnomas. No 8 e 9 anos, algumas vm resolvidas, cumprindo a mesma funo.

Pensando em casa 

  Para repassar o contedo do tpico sem repetir o que foi feito em aula. Solicitam-se raciocnio e intuio do aluno. 
  A critrio do professor, algumas atividades podem ser feitas em aula.

Desafios e surpresas

  So atividades curiosas ou que pedem uma soluo mais criativa. No incio,  comum os alunos encontrarem dificuldades, mas elas sero superadas com trocas de ideias.  preciso dar tempo para que os alunos tentem, por si, resolver essas questes.

Ao 

  So sugestes de atividades, jogos, experimentos e trabalhos que solicitam participao ativa dos alunos. 
  Durante a ao,  comum ocorrer certa agitao na sala de aula, mas isso ajudar os alunos a se envolverem mais com a atividade. 
<P>
                              XV
  As aes podem ser adaptadas pelos professores ou pelos alunos. Se for um jogo, poder ter uma regra alterada para torn-lo mais emocionante, mais rpido etc. As aes devem ser preparadas com antecedncia, pois algumas solicitam materiais especficos.
<P>
<P>
                            XVII
 Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras: 
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero." 
 Exemplo: #:d (trs quartos).
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256)  
 Exemplo: 34 (trs quartos). 
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (5, 256) ~
 Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<R->
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<7>
<tmat. medida c. 9>
<T+1>
Captulo 1 -- Geometria: 
  ampliaes e redues

<8>
1- Semelhana

A ideia de semelhana

  A palavra semelhante quer dizer parecido. Mas, na geometria, essa palavra tem um significado mais preciso.
  Veja dois mapas do Brasil 
 _`[no adaptados_`]. Na geometria, dizemos que estes mapas so figuras semelhantes.
  Note que os dois mapas tm exatamente a mesma forma, embora seus tamanhos sejam diferentes. O mapa maior  uma cpia ampliada do menor.
  Na geometria, a palavra semelhante est ligada  ideia de mesma forma. Assim, uma ampliao, uma reduo e at mesmo uma congruncia so exemplos de seme-
 lhana.
<P>
  No mapa maior, assinalamos os pontos N, S, L e O, que so os pontos extremos do pas ao norte, ao sul, a leste e a oeste. No outro, esses pontos esto indicados por A, C, B e D, respectivamente.
<9>
  Os pontos extremos formam, em cada mapa, um quadriltero. Para compar-los, veja as medidas aproximadas de seus lados e ngulos internos.

<R+>
_`[{duas figuras descritas a 
  seguir_`]

  Dois mapas do Brasil, com 
  tamanhos diferentes, formando 
  os quadrilteros {n{l{s{o e {a{b{c{d, unindo os pontos extremos. Os ngulos, nos 
  dois mapas, medem 109}, 82}, 74} e 95}.
<R->

  Note que, nos dois quadrilteros, os ngulos tm medidas respectivamente iguais, e os lados so respectivamente proporcionais:
<P>
 4,62,3=5,22,6=5,42,7=
 =3,01,5.
  Dizemos ento que {n{l{s{o e {a{b{c{d so quadrilteros semelhantes.

  Dois polgonos so semelhantes quando tm ngulos respectivamente congruentes e lados respectivamente proporcionais.

Razo de semelhana

  Observe estes dois hexgonos:

<F->
:{a=60}; :{b=150}; :{c=150}; :{d=60}; :{e=150}; :{f=150}; ^c?{a{f*=4,0; ^c?{f{e*=2,6; ^c?{e{d*=4,0; ^c?{d{c*=4,0; ^c?{c{b*=2,6; ^c?{a{b*=4,0. 
<P>
      F      E    
       iccccccce
      i         e
     i           e
    i             e
A i               e D 
   e               i
    e             i
     e           i
      e         i
       e:::::::i
      B      C

:{a=60}; :{b=150}; :{c=150}; :{d=60}; :{e=150}; :{f=150}; ^c?{a{f*=2,0; ^c?{f{e*=1,3; ^c?{e{d*=2,0; ^c?{d{c*=2,0; ^c?{c{b*=1,3; ^c?{a{b*=2,0.
<P>

      {f   {e    
       iccccce
      i       e
     i         e
{a i           e {d 
    e           i
     e         i
      e       i
       e:::::i
      {b   {c
<F+>

  Temos:
<R+>
  A==A; B==B; C==C; D==D; E==E; F==F.
  {a{bAB={b{cBC=
  ={c{dCD={d{eDE=
  ={e{fEF={f{aFA.
<R->

<10>
  Por isso, esses hexgonos so semelhantes, e escrevemos: {a{b{c{d{e{f$?;ABCDEF (os polgonos {a{b{c{d{e{f e ABCDEF so semelhantes).
  Nesse exemplo, a razo 
 entre qualquer lado do hex-
 gono {a{b{c{d{e{f e o lado 
 correspondente do outro hex-
 gono  igual a 2.
  Por exemplo: {a{bAB=
 =4,02,0=2.
  Por isso, dizemos que a razo de semelhana do hexgono {a{b{c{d{e{f para o hexgono ABCDEF  igual a 2.

  A razo de semelhana de um polgono para outro (semelhante)
  a razo que existe entre qualquer lado do primeiro e o lado correspondente do segundo polgono. (A razo entre esses lados  a razo entre suas medidas.)

Exemplo

  Note que estes retngulos so semelhantes:
<P>
<F->

   A   30    B
    !:::::::::::
    l           _
24 l           _ 
    l           _
    l           _
    h:::::::::::j
   D          C

   E 20 F
    !::::::
    l      _
16 l      _ 
    h::::::j
   H     G
<F+>

  A razo de semelhana do retngulo {a{b{c{d para o retngulo {e{f{g{h : 3020=32=1,5.
  Essa razo indica que qualquer comprimento no retngulo {a{b{c{d  1,5 (uma vez e meia) o comprimento correspondente no outro retngulo.
<P>
  Medindo a diagonal ^c?{a{c*, voc ver que ela tem 1,5 vez o comprimento de ^c?{e{g*.

Aplicaes da semelhana

  O conceito de semelhana tem muitas aplicaes prticas. Por exemplo: ampliaes ou redues de fotos e mapas usam noes de semelhana. Mquinas copiadoras, que ampliam e reduzem documentos, tambm.
  Em nossas casas temos um exemplo de aplicao de semelhana nas telas de TV. Todas as telas comuns, grandes ou pequenas, tm a forma de retngulos semelhantes. (A exceo so as telas chamadas *widescreen*, mas elas so menos comuns.)
  Ainda bem que as telas so semelhantes. Se no fossem, voc pode imaginar os problemas que ocorreriam? Poderia ocorrer um gol no canto de uma tela de TV que no aparecesse em outra.

<11>
Atividades

<R+>
1. Estes retngulos so semelhantes? Justifique sua res-
  posta.

<F->
         A         B
          !::::::::::
  1,0 cm l          _
          l          _
          h::::::::::j
         D 2,0 cm C


         A         B
          !:::::::::::
          l           _
  3,0 cm l           _
          l           _
          l           _
          h:::::::::::j
         D 4,0 cm C
<F+>
<P>
2. Estes paralelogramos so semelhantes? Justifique sua resposta.

Legenda: ^c?{a{d*=3,0 cm; ^c?{d{c*=4,0 cm.

<F->
          A          B 
          ^ccccccccccm
        ^          ^
      ^          ^
    ^ 30}     ^
   ^ccccccccccc^
  D         C

Legenda: ^c?{a{d*=1,5 cm; ^c?{d{c*=2,0 cm.

      A     B
       ccccccc
             
      75}  
    ^cccccccc
   D    C
<F+>
<P>
3. Desenhamos estas setas em papel quadriculado _`[no adaptado_`]. Quais delas so semelhantes entre si?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

4. Os trapzios T e T so semelhantes: ^c?{a{b* corresponde a ^c?{e{f*; ^c?{b{c* corresponde a ^c?{f{g*.

<F->
         A   B   
         ccccc
              _
              _
         T   _ 21      
              _
     55}     _ 
   -----------#
  D          C
<P>
  H
   r  
   l ^
   l   ^ E  
   l     ^    
   l T  _ 10
   l      _  
   h::::::j
  G 14 F
<F+>

a) Encontre a medida de ^c?{a{b*.
 b) Encontre a medida de :{h.

5. Um tringulo {a{b{c  semelhante ao da figura e tem 84 cm de permetro. Quanto medem seus lados?

<F->
           4 cm
        !:::::::::!
        l_-_     ^
        r::j   ^ 
  3 cm l    ^ 5 cm
        l  ^ 
        l^
        r
<F+>

  Resoluo: 
  As medidas dos lados do tringulo {a{b{c so proporcionais a 3, 4 e 5. Ento, vamos indic-las por 3x, 4x e 5x. O permetro desse tringulo  
  84 cm. Assim: 3x+4x+5x=84. Logo, x=7. Portanto, os lados do tringulo {a{b{c medem: 
  21 cm, 28 cm e 35 cm.
 6. O tringulo {a{b{c tem lados de 6 cm, 6 cm e 10 cm. O tringulo {e{f{g tem 55 cm de permetro. Sabendo que tringulo {a{b{c$?;tringulo {e{f{g, determine as medidas dos lados do tringulo {e{f{g.

7. Os retngulos R e R so semelhantes.
<P>
<F->
           6,0
       !::::::::::         2,0
       l          _       !::::::
  4,5 l    R    _       l      _
       l          _  1,5 l R  _
       l          _       l      _
       h::::::::::j       h::::::j
<F+>

a) Qual  a razo de semelhana de R para R?
 b) A razo entre os permetros de R e R  igual  razo de semelhana?
 c) A razo entre as reas de R e R  igual  razo de semelhana?

8. Dois quadrados quaisquer sempre so semelhantes. Explique por qu.

<12>
Pensando em casa

9. Os quadrilteros seguintes so semelhantes: ^c?{a{b* corresponde a ^c?{h{i*; e ^c?{b{c* 
<P>
  corresponde a ^c?{i{j*. Quanto medem ^c?{a{b*, ^c?{i{j* e ^c?{j{g*?

_`[{figuras adaptadas_`]

  Quadriltero {a{b{c{d: ^c?{b{c*=1 cm, ^c?{c{d*=3 cm e ^c?{d{a*=2 cm.
  Quadriltero {h{i{j{g: ^c?{h{i*=10 cm, ^c?{g{h*=4 cm.

 10. Os mapas no so exatamente semelhantes  superfcie da Terra, porque esta  esfrica e o mapa  plano. No entanto, h uma semelhana aproximada. A escala do mapa equivale  razo de semelhana. Por exemplo, a escala 1500.000 indica que 1 cm do mapa vale 500.000 cm na realidade. Com essas informaes, resolva este problema, adaptado de um vestibular da 
  Unesp: Sobre um mapa em escala 1500.000  demarcada uma reserva florestal quadrada de 7 cm de lado. Qual ser a rea da reserva, em quilmetros quadrados?.

_`[{para as atividades 11, 12 e 13 pea orientao ao professor_`]

11. Este desenho _`[no adaptado_`]  semelhante  fachada da casa que ele representa. A porta de entrada tem 2,4 m de altura, como indica a figura. Mea o desenho com uma rgua e, depois, calcule a altura real da casa.

12. Para ampliar figuras, s vezes quadriculamos os desenhos _`[no adaptados_`].
 a) Mea os lados dos quadrados {a{b{c{d e {e{f{g{h. Qual  a razo de semelhana do quadrado {a{b{c{d para o quadrado {e{f{g{h?
<P>
 b) Nessa ampliao, por quanto foi multiplicado o comprimento do rabo da vaca? E o de cada perna?

13. (Saresp) Uma foto retangular de 10 cm por 15 cm deve ser ampliada de modo que a ampliao seja semelhante  foto. A maior dimenso da ampliao  de 60 cm. A sua menor dimenso ser:
 a) 150 cm
 b) 60 cm
 c) 55 cm
 d) 40 cm

14. Existem refrigerantes em garrafas grandes (de 1 L) ou pequenas (de 290 mL). A garrafa maior e a menor de um mesmo refrigerante so semelhantes? Por qu?
<R->

<13>
<P>
Ao sobre semelhana

Encolhendo um quadriltero

  O professor, com a ajuda dos alunos, desenhar no cho da sala um quadriltero. Para tanto, ele vai usar um barbante bem esticado, rente ao cho.
  Passa-se giz em toda a extenso do barbante e, com uma estilingada, est feita uma linha reta no cho. Com outras trs linhas est formado o quadriltero.
  Sugerimos ao professor que 
 evite os quadrilteros particulares como retngulos, paralelogramos etc., e que, na estimativa visual, escolha lados com medidas bem diferentes, aproximadamente de 0,5 m a 2 m.
  Depois, a sala deve ser dividida em grupos.
  Cada grupo dever reproduzir esse quadriltero usando uma escala, por exemplo, 120 (l-se um para vinte).

<R+>
_`[{uma menina diz: "Nessa escala, cada 1 cm do seu desenho equivale a 20 cm do quadriltero desenhado no cho."_`]
<R->

  Para isso, munidos de fitas mtricas e transferidores, os grupos faro as medidas que julgarem necessrias.

               ::::::::::::::::::::::::

<14>
2- Semelhana de tringulos

Um caso especial: os tringulos

  Os lados de um polgono podem ser respectivamente proporcionais aos lados de um outro polgono, sem que eles sejam semelhantes.
<P>
<F->
        !::::::::!::
        l_-_      l_-_
        r::j      h::w
1,0 cm l     R     _
        r::      !::w
        l_-_      l_-_
        h::j::::::h::j
            1,5 cm

         cccccccccccccccm
2,0 cm                
             P       
                     
     ^cccccccccccccccc
          3,0 cm
<F+>

  Por exemplo, o retngulo R e o paralelogramo P tm lados respectivamente proporcionais. Mas no so semelhantes, porque no tm os ngulos respectivamente congruentes.
  Tambm podemos encontrar dois polgonos com ngulos respectivamente congruentes, mas que no so semelhantes.
<P>

<F->
      cccccccccccccccm
      120}    60} 
                    
         L       
                 
  60}    120} 
^cccccccccccccccc 

      cccccccccccccccccccm
      120}        60} 
                        
          P          
   60}        120} 
 ^cccccccccccccccccccc 
<F+>

  Por exemplo, o losango L e o paralelogramo P tm ngulos respectivamente congruentes. Mas no so semelhantes, porque seus lados no so respectivamente proporcionais.
  Para dois polgonos serem semelhantes, eles precisam satisfazer as duas condies: terem ngulos respectivamente congruentes e lados respectivamente proporcionais.
  Com os tringulos, no entanto, ocorre uma particularidade: basta satisfazer a apenas uma das condies para que sejam semelhantes.
  Isso porque, nos tringulos, uma dessas condies leva  outra, e vice-versa.

O caso especial na prtica

  Voc pode comprovar esse fato fazendo algumas experincias.
  Como voc j aprendeu a construir tringulos com rgua e compasso, faa um com lados de 
 3 cm, 4 cm e 5 cm, seguindo as instrues.
<15>
  Agora, multiplique as medidas por 1,5 e voc ter um tringulo de lados 4,5 cm, 6 cm e 7,5 cm. Construa esse tringulo com rgua e compasso.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Os dois tringulos que voc construiu tm lados proporcionais: 4,53=64=7,55=1,5.
  Certo? Agora, recorte cada um deles e compare seus ngulos, colocando um tringulo sobre o outro. Os ngulos da mesma posio so congruentes? Sim ou no?
   possvel desenhar quadrilteros, pentgonos etc. com lados proporcionais e ngulos respectivamente diferentes. No  possvel fazer isso com tringulos.
  Se voc quiser, pode tambm repetir a experincia, desta vez construindo dois ou mais tringulos com ngulos respectivamente congruentes e observar o que acontece com as medidas dos lados. Por exemplo, todos os tringulos com ngulos de 30}, 60} e 90} tero o mesmo formato. Se voc medir os lados, ver que os lados de um desses tringulos sero respectivamente proporcionais aos de qualquer outro.
<P>
O caso AA de semelhana

  Vimos que, se dois tringulos tm os ngulos respectivamente congruentes, eles tm os lados respectivamente proporcionais. Portanto, eles so tringulos semelhantes.
  Na verdade, para saber se dois tringulos so semelhantes, no  preciso verificar se eles tm os trs ngulos respectivamente congruentes. Basta verificar dois ngulos. Se eles tiverem dois ngulos respectivamente congruentes, j se pode concluir que os tringulos so semelhantes.
  Isso porque, nos tringulos, a soma dos ngulos internos  180}. Assim, se dois ngulos forem respectivamente congruentes, o mesmo acontecer com o ngulo restante. Esse  o caso AA de semelhana.
  Se dois tringulos tm dois ngulos respectivamente congruentes, ento esses tringulos so semelhantes.

<16>
Atividades

<R+>
15. Nesta figura, calcule ^c?{a{d*.
  ~:,?{d{e*_l~:,?{b{c* 

<F->
         A
         
          
    D ----u E
        5  
  6         
    ----------u 
   B   20   C 
<F+>

  Resoluo:
  Compare o tringulo {a{d{e com o tringulo {a{b{c: :{a==:{a (ngulo comum); :{d==:{b 
  (ngulos correspondentes).
  Pelo caso AA, tem-se: tringulo {a{d{e$?;tringulo {a{b{c.
  Logo: {a{d{a{b={d{e{b{c.
  Indicando {a{d por x, temos: x?x+6*=520=14.
  Assim, 4x=x+6.
  Logo, x=2.

16. Nestes tringulos, 
  tem-se ~:,?{d{e*_l~:,?{b{c*. Calcule x.
 a)
<F->
         B
      2 
          
    D      5
           
   x    3  
             
   ------u-----u 
  A     E    C

b)               A
                  
             4 ^   3
              ^     
            ^         
       D ^            E 
        ^cccccccccccccc    
   3 ^                  x 
    ^                    
   j:::::::::::::::::::::::h
  B                      C 
<F+>
<P>
17. Podemos afirmar que trs destes tringulos so semelhantes entre si. Quais so esses tringulos?
<F->
  :{a=92}
  :{b=50}
  :{c=38}

  A          B       
   !::::::::::!
   l        ^
   l      ^ 
   l    ^ 
   l  ^ 
   l^
   r
  C 

  D          E
   !:::::::::!
   l_-_     ^
   r::j   ^ 
   l    ^ 
   l  ^ 
   l^
   r
  F


  G
   r
   l ^
   l   ^ 
   l     ^
   r::    ^
   l_-_      ^
   h::j::::::::h
  I          H

  :{j=92}
  :{k=50}

  L
   r
   l ^
   l   ^ 
   l     ^
   l       ^
   l         ^
   h:::::::::::h
  J          K
<P>
  :{m=45}
  :{n=45}

  M      
   r
   l ^
   l   ^ 
   l     ^
   l       ^
   l         ^
   h:::::::::::h
  O          N 

  :{q=50}
  :{r=38}

        P
        
         ^
           ^
             ^
               ^ 
   --------------u
  Q             R
<F+>

18. (Saresp) Os tringulos {m{e{u e {r{e{i so semelhantes, com {u{m_l{r{i. O lado {m{e mede 12 cm. Qual  a medida, em cm, do lado {r{e?

<F->
                  E
                  
                ^   
              ^     
            ^         
       M ^ccccccccccc U 
        ^    15 cm    
      ^                 
    ^                    
   j:::::::::::::::::::::::h
  R        45 cm        I  
<F+>

 a) 15
 b) 20
 c) 24
 d) 36

19. Calcule a medida do lado ^c?{b{c* do tringulo {a{b{c, aps compar-lo com o tringulo {d{e{f.
  :{c=130}
  :{a=23}
  ^c?{c{a*=21

<F->
            C
            ^
          ^   ^ 
        ^       ^
      ^           ^
    ^               ^
   ccccccccccccccccccccc
  B                  A

  :{f=130}
  :{d=23}
  ^c?{f{d*=14
  ^c?{e{f*=12

        F
        ^
      ^   ^ 
    ^       ^
   ccccccccccccc
  E          D
<F+>

<17>
20. Sabendo que ~:,?{i{a*_l~:,?{m{o*, mostre que tringulo {t{i{a$?;tringulo {t{o{m.
<P>

<F->
        T
        
         
    A----uI
           
            
   ----------u 
  M         O 
<F+>

21. Nesta figura, calcule ^c?{a{c*.
  ~:,?{e{d*_l~:,?{b{c*
  {a{e=3
  {e{d=4
  {b{c=10

<F->
        A
        
         
    E----uD
           
            
   ----------u 
  C         B
<F+>

22. No 8 ano, voc aprendeu que dois ngulos inscritos na circunferncia que determinam um mesmo arco tm medidas iguais. Ambos tm a metade da medida do ngulo central.
  :a e :b determinam ^:?{a{b*
  a=b=c2.
  Agora, considere a figura _`[no adaptada_`] e responda s questes.
  {p{b=10 mm
  {p{c=20 mm
  {p{d=9 mm
 a) Qual  a medida *a*? Justifique.
 b)  verdade que x=y? Por qu?
 c) Os tringulos {p{a{c e {p{d{b so semelhantes? Por qu?
 d) Calcule a medida do segmento ^c?{p{a*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

23. A rampa de acesso a um viaduto  sustentada por colunas perpendiculares ao solo. Na fi-
<P>
  gura, falta marcar a altura da coluna ^c?{a{b*. Calcule essa altura. 

Legenda: ^c?{e{d*=20 m; ^c?{b{d*=4 m; ^c?{c{d*=8 m.

<F->
                  C
                  ^                  
             A ^ _
              ^   _ 
            ^    _
          ^  _    _  
        ^    _    _
      ^      _    _
    ^        _    _
   j::::::::::j::::j
  E         B   D
<F+>

Pensando em casa

_`[{para as atividades 24 e 25, pea orientao ao professor_`]

24. (Saresp) Joana quer dividir um segmento ^c?{a{b* em 5 partes iguais. Traou ento uma semirreta, a partir de A, fazendo um ngulo agudo {a{b. Tambm a partir de A, marcou na semirreta 5 pontos distantes igualmente um do outro: P1, P2, P3, P4 e P5. Ligou P5 a B e traou P1C, paralelo a P5B. Concluiu ento, corretamente que:

<F->
  o:::o::::::::o
  A   C        B
<F+>

a) ^c?{a{c*  metade de ^c?{a{b*.
 b) ^c?{a{c*  igual a ^c?{a{p1*.
 c) ^c?{a{c*  a quinta parte de ^c?{a{b*.
 d) ^c?{a{c*  a quarta parte de ^c?{a{b*.

25. Veja a figura _`[no 
  adaptada_`].
 a) Mostre que tringulo {a{p{q$?;tringulo {a{b{c.
 b) Calcule a medida do segmento ^c?{b{c*.

<18>
<P>
26. Nesta figura, calcule x.

<F->
                    C
                    
                  ^ _
                ^   _
            E^     _  
                   _
          ^ _       _ 9 
        ^   _ 5    _
      ^  !::w    !::w   
    ^    l_-_    l_-_
   j::::::h::j::::h::j
  A   x    D  3  B 
<F+>

27. Nesta figura, encontre o valor de x. 
  ~:,?{d{e*_l~:,?{b{c*

Legenda: ^c?{a{d*=2x; ^c?{e{d*=3x; ^c?{d{b*=4; ^c?{b{c*=18.
<P>

<F->
          A
          
           
            
     D------uE
              
     ----------u 
    B         C
<F+>

28. Copie e complete a sentena, trocando ... pela indicao da medida adequada: Se tringulo {a{b{c$?;tringulo {x{y{z com :{a==:{x e :{b==:{y, ento temos: {b{c...={a{c...=......

Desafios e surpresas

1. Uma pessoa disse que viu um disco voador. Para marcar a posio do disco, ela enfiou no cho um cabo de vassoura apontando para o disco. Depois, viu que esse cabo formava um ngulo de 30} com a horizontal. Outra pessoa disse que viu o mesmo disco, na mesma hora. S que o disco estava sobre sua cabea, na vertical. A distncia entre essas pessoas era de 6 km.
  Usando um esquadro, desenhe um tringulo com um ngulo de 30} e outro de 90}. Observe que ele ser semelhante ao indicado na figura _`[no adaptada_`]. 
  Agora, acreditando no que as duas pessoas disseram, e usando as medidas do seu desenho, calcule a altura em que se encontrava o disco voador.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<19>
Ao sobre semelhana

H ou no h semelhana?

  A atividade pode ser realizada por grupos de dois ou trs alunos.
  As instrues so as seguintes:
<R+>
 1. Construa dois tringulos retngulos congruentes. O maior lado deve ter mais de 15 cm. Sugesto: sobreponha duas folhas de papel retangular (tamanho A4, carta ou ofcio) e corte um dos cantos.
 2. Separe um dos tringulos e, nele, trace a altura relativa ao lado maior. Depois, corte o 
  tringulo na linha da altura, obtendo mais dois tringulos.
 3. Examine os trs tringulos obtidos. Procure saber se dois deles so semelhantes ou se os trs so semelhantes entre si.
 4. Em um cartaz ou relatrio, de acordo com o pedido do professor, mostre como foram feitas as construes (use desenhos) e apresente as concluses sobre semelhana.
  No cartaz ou relatrio cole os tringulos construdos.
  Ateno:
  A semelhana pode ser mostrada comparando ou medindo ngulos dos tringulos.
  Diferenas muito pequenas entre essas medidas no querem dizer que no h semelhana. Em geral, tais diferenas so causadas por imprecises inevitveis nas construes.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<20>
3- Utilizando a semelhana de 
  tringulos

  Tales, o grande matemtico do sculo VI a.C., foi tambm um prspero comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negcios. Nessa ocasio, ele assombrou o fara e toda a corte eg-
 pcia: medindo a sombra da pirmide de Quops, ele calculou a altura da pirmide. Seu nico auxiliar foi um basto de madeira, que ele cravou verticalmente no solo.
<P>
<R+>
_`[{desenho de uma pirmide e sua projeo no adaptado. A seguir, o esquema adaptado da representao_`]
<R->

<F->
      C
       ^
         s
         l ^
         l   ^ 
  basto l     ^ raios solares
         l       ^
         l         ^
         h:::::::::::j
            sombra
<F+>

  Tales considerou esses dois tringulos imaginrios:

<R+>
_`[{dois tringulos: o primeiro "criado" a partir do desenho anterior da pirmide e sua projeo; o segundo, do esquema adaptado_`]
<R->
<P>   
<F->
A      
 r
 l ^               R
 l   ^              r
 l     ^            l ^
 l       ^          l   ^
 l         ^        l     ^
 r::        ^      r::    ^
 l_-_          ^    l_-_      ^
 h::j::::::::::::h   h::j::::::::h
B              C  S          T
<F+>

  Observe esses tringulos: :{b==:{s (reto); :{c==:{t 
 (ngulos de inclinao dos raios solares).
  Ento, pelo caso AA, tem-se: tringulo {a{b{c$?;tringulo {r{s{t.
  Nesses tringulos, Tales mediu ^c?{r{s* (o basto), ^c?{s{t* (a sombra do basto) e ^c?{b{c* (a sombra da pirmide, mais metade da sua base). Vamos supor que ele tenha obtido estas medidas:
<P>

<F->
A      
 r
 l ^               R
 l   ^              r 
 l     ^            l ^
 l       ^          l   ^      
 l         ^   2 m l     ^      
 l           ^      l       ^
 l             ^    l         ^ 
 h:::::::::::::::h   h:::::::::::h
B   225 m     C  S  3 m    T 
<F+>

<21>
  Usando a semelhana de tringulos, Tales calculou a altura ^c?{a{b* da pirmide: {a{b2=
 =2253 ento: 3"`({a{b`)=
 =2"225, portanto: {a{b=150.
  Foi assim que Tales calculou a altura da grande pirmide. Com suas realizaes matemticas, ele ganhou muito prestgio. E esse exemplo de aplicao da semelhana de tringulos acabou entrando para a Histria.
<P>
Atividades

<R+>
29. Observe a paisagem e calcule a altura da rvore.

_`[{desenho de um cachorro ao lado de uma rvore e suas projees. A seguir, suas medidas_`]

  altura do cachorro: 0,8 m
  projeo da sombra do cachorro: 1,10 m
  projeo da sombra da rvore: 3,30 m

30. O professor de Matemtica deu este trabalho para o meu grupo: medir a altura da escola, sem subir no telhado. Ns 
  medimos:
  a altura de nossa colega 
  Karen, obtendo 1,50 m;
  o comprimento da sombra de 
  Karen, obtendo 1,80 m;
  a sombra do prdio da escola, obtendo 12 m.
  Com essas medidas, calculamos 
<P>
  a altura da escola. Calcule 
  voc tambm a altura da nossa escola.

_`[{para as atividades de 31 a 34, pea orientao ao professor_`]

31. Examine a figura _`[no adaptada_`] e a informao. ~:,?{a{b*_l~:,?{d{e*
 a) Os ngulos :?{b{c{a* e :?{d{c{e* so congruentes. Por qu?
 b) Os ngulos :?{b{a{c* e :?{d{e{c* so alternos internos. Eles so congruentes nessa figura?
 c) Podemos dizer que tringulo {a{b{c$?;tringulo {e{d{c. Por qu?
 d) De acordo com a semelhana dos tringulos citados, copie e complete: {a{b...=...{c{d.
 e) Calcule x.
<P>
32. Nesta figura _`[no 
  adaptada_`], calcule x.
<22>
 33. Calcule x na figura _`[no adaptada_`].
  Resoluo:
  Note que tringulo {a{b{c$?;tringulo {a{b{p:
  :{a==:{a (ngulo comum).
  :?{a{c{b*==:?{a{b{p*.
  Vamos desenhar esses tringulos de modo que os ngulos congruentes fiquem nas mesmas posies:

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

  x2=8x. De onde vem: x2=16.
  Logo, x=+:-4.
  Como a medida de um segmento deve ser positiva, ^c?{a{b* 
  mede 4.

34. Em relao a esta figura 
  _`[no adaptada_`]:
 a) Mostre que tringulo {a{b{p$?;tringulo {a{b{c.
 b) Calcule a medida x.
<P>
Pensando em casa

35. No mesmo instante e local em que uma pessoa de 1,65 m tem sombra de 2,10 m, um poste tem sombra de 5,60 m. Qual  a altura desse poste?
 36. Nesta figura, calcule x e y.
  ~:,?{a{b*_l~:,?{d{e*; {a{b=1,5; {a{c=2,5; {b{d=10; {c{e=10.

<F->
    A       B
     cccccccm
           
           x 
         
          C 
         
          
           
            
             
   -----------u
  D     y    E
<F+>
<P>
37. Nesta figura _`[no adaptada_`], os ngulos :?{r{q{s* e :?{r{t{q* so congruentes.
 a) Mostre que tringulo {q{r{s$?;tringulo {q{r{t.
 b) Escreva as propores entre os lados dos dois tringulos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<23>
38. Nesta figura, calcule a medida de ^c?{u{v*. 
  ~:,?{x{y*_l~:,?{u{v*; {x{y=5,4; {y{z=5,4; {z{u=8.

<F->
       X    Y
     ccccccccmcccc
            
           
            Z
           
            
             
              
   ------------u---
     U         V
<F+>
<P>
39. Nesta figura, calcule a medida de ^c?{a{e*. 
  ^c?{c{d*=7; ^c?{d{b*=3 e ^c?{e{b*=5.

<F->
         A
         ^
           ^ 
             ^
               ^E
                 _ 
                 _ ^
                 _   ^ 5
                 _::  ^
                 __-_    ^
-----------------#--#------u
C     7        D    3  B
<F+>
  
40. Na situao da figura _`[no adaptada_`], os extremos da sombra do homem e da rvore coincidem. O homem tem 1,80 m de altura e sua sombra tem 2 m de comprimento. A sombra da rvore tem 5 m de comprimento. Qual  a altura da rvore?
<P>
Desafios e surpresas

2. Nesta figura, {a{b{c{d  um quadrado. Calcule a medida x dos seus lados. ^c?{a{e*=4; ^c?{a{f*=6.

<F->
    E
     r
     l ^
     l x ^C
  D pcccc^ 
     l    _  ^
   x l    _ x  ^
     l    _      ^ 
     h::::j::::::::h
    A x B       F
<F+>

_`[{dois jovens conversam: "Agora que j sei como proceder, vou calcular a altura da minha casa..." Diz a menina. "Faa isso!" Exclama o rapaz_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<24>
<P>
4- O teorema de Tales

  Uma das consequncias que podemos deduzir da semelhana de tringulos  um fato conhecido como teorema de Tales. O enunciado desse teorema  o seguinte:

  Considere trs retas paralelas e duas transversais. As paralelas determinam nas transversais segmentos proporcionais.
 {a{b{b{c={d{e{e{f ou {a{c{b{c={d{f{e{f
 a_lb_lc

<F->
    u    v
 A l      D         
----v------u---------- a
    l       
 B l         E
----v---------u------- b
    l            
    l           
 C l             F
----v-------------u--- c
    l              
<F+>

  Vamos ver por que esse fato  verdadeiro, isto , vamos demonstrar o teorema.
  Na figura anterior, podemos imaginar a transversal *v* deslocando-se paralelamente, at que o ponto E coincida com o ponto B. (Em Matemtica, esse movimento da reta *v* se chama translao.) Temos, ento, esta situao:
 B e E coincidem; a_lb_lc.

<F->
              
 D           A
ccccccccccccmccccc a
       I  
            
         
------------------ b 
         
          
           
      II  
 C           F
--------------u---- c
               
 u               v
<F+>
<P>
  Nessa situao aparecem dois tringulos semelhantes, tringulo I e tringulo II.
  Como seus lados so proporcionais, conclumos que {a{b{b{c=
 ={d{e{e{f.
<25>
  Para demonstrar a outra proporo, imaginamos outra translao de *v*, de maneira que A e D coincidam. Aparecem de novo dois tringulos semelhantes, III e IV. Veja:

Situao aps a translao: 
  
<F->
  lA e D coincidem
---v----------------- a
   l
B l  E
---v--u-------------- b
   l   
C l     F
---v-----u----------- c
   l      
   l       
   u        v
<P>
Visualize separadamente os 
  tringulos semelhantes:

III     IV
'          '
l         l
l         l 
l         l  
l         v---u
l     
v-----u 
<F+>

  Dessa semelhana de tringulos, conclumos que {a{c{b{c=
 ={d{f{e{f.

Usando o teorema de Tales

  Na figura, as medidas esto em centmetros. Sabendo que a_lb_lc, vamos calcular a medida x.
<P>

<F->
      l               
a ----v----------------- 
   3 l          4 
      l            
b ----v----------------- 
      l          
   6 l       x    
      l            
c ----v----------------- 
      l      
<F+>

  Pelo teorema de Tales, temos a proporo: x4=63.
  Portanto: 3"x=4"6. Logo, temos x=8 cm.

Atividades

<R+>
41. Nesta figura, tem-se r_ls_lt. Calcule x.
<P>

<F->
                 
  r --------------u--------
       4           6
  s ----------------u------
                     
     x                 9
  t -------------------u---
                        
                         
<F+>

42. Nesta figura, encontre 
  x e y.
  {a{b=3, {b{c=4, {d{f=14, ^c?{a{d*_l^c?{b{e*_l^c?{c{f*.

<F->
              u    t
           D     _A
   ---------------#----
                  _
            x     _
       E         _B
   ---------------#----
                  _
                  _
       y          _
  F              _C
  ----------------#----
                  _
<F+>
<P>
  Resoluo:
  Pelo teorema de Tales, temos: {a{c{a{b={d{f{d{e.
  Ento: 73=14x. Da, 7"x=3"14. Portanto: x=6.
  Como x=6, temos y=14-6=8; logo: x=6 e y=8.

<26>
43. Nestas figuras, temos trs retas paralelas e duas transversais, *t* e *u*. Calcule x.
 a) ^c?{a{c*=21; ^c?{b{c*=14; ^c?{d{e*=x; ^c?{e{f*=10.

<F->
  ^ A                      D  
a ccccccccccccccccccccccccccccmcc
      ^                      
        ^ B             E  
b cccccccccccccccccccccccccmccccc
            ^             
              ^          
                ^C  F 
c cccccccccccccccccccccmccccccccc
                    ^ 
<F+>
<P>
b) ^c?{a{b*=7; ^c?{b{c*=28; ^c?{a{d*=x; ^c?{d{e*=x+12.

<F->
                      _  ^
                    A_^ 
  a ::::::::::::::::::w::::: 
                    ^_
                B^  _D
  b -----------------#-----
              ^      _
            ^        _
          ^          _
     C ^            _E
  c -----------------#-----
    ^                _
   u                  t
<F+>

44. Esta planta _`[adaptada_`] mostra dois lotes de terrenos. Descubra a medida da frente dos lotes 1 e 2, que do para a Rua B.
<P>
<F->
Legenda: ^c?{x{y*=42 m; ^c?{e{f*=15 m; ^c?{f{g*=20 m. 

                              Y^
                              _ 
                            ^ _
                          ^   _ 
                        ^     _ 
                      ^       _
                    _         _
                  ^ _         _ 
                ^   _         _
              ^     _         _
          X^       _         _
          _         _         _  
  rua b ^ _ lote 1 _ lote 2 _
           _         _         _
           _         _         _
  rua a :::j:::::::::j:::::::::j::
          E        F        G
<F+>
<P>
Pensando em casa

45. Nas figuras, as retas *r*, *s* e *t* so paralelas. Calcule ^c?{a{b*.
 a) {b{c=3, {d{e=3 e {e{f=4

<F->
         A  ^ D
r -------------u-----------------
                 ^ 
      B           ^ E
s -------------------u-----------
                       ^
                         ^  
  C                       ^ F
t ---------------------------u---
                               ^
<F+>
<P>
b) {a{c=13,5, {e{f=4 e {d{e=5

<F->
  ^                       
 C ^                     D
ccccccccccccccccccccccccmcccccc
        ^              
          ^           
         B ^         E
ccccccccccccccccccccmcccccccccc
                ^  
                  ^ G
                   ^  
                     ^
             F        ^ A
cccccccccccccccccccccccccccccc
                           ^
             u                t
<F+>

46. Nestas figuras, as retas *r*, *s* e *t* so paralelas. Calcule x.
<F->
a) Legenda: ^c?{a{b*=x; ^c?{a{c*=20; ^c?{d{e*=6; ^c?{d{f*=24.
<P>
      l    
   A l      D         
  ----v------u---------- r
      l       
   B l         E
  ----v---------u------- s
      l          
   C l            F
  ----v------------u--- t
      l             

b) Legenda: ^c?{a{b*=26; ^c?{b{c*=20; ^c?{b{d*=x; ^c?{e{b*=40.

     _      _    _C^
     _      _    _^
     _      _   _
   A_    B_ ^ _D
  ---#------#---#------
     _    ^_    _
     _  ^  _    _
   E_^    _    _
    _      _    _
  ^ _      _    _
<F+>

<27>
47. (Saresp) Valdemar tem um terreno na forma de um trapzio. Um riacho paralelo  estrada em que se situa divide o terreno em duas partes, como mostra a figura a seguir.

<F->
            estrada
  ^^cccccccccccccccccccccccm^^
                          
60 m                     x
            riacho      
     ^^^cccccccccccccccm^^^
   20 m               15 m
       -----------...
<F+>

  Ele j cercou quase todo o limite externo do terreno e s falta o trecho x, cuja medida em metros :
 a) 15
 b) 20
 c) 36
 d) 45

48. Trapzio  todo quadriltero que tem apenas dois lados paralelos. Nesta planta, temos terrenos com forma de trapzios. Uma das frentes de cada terreno tem medidas conhecidas. Calcule as medidas das frentes que do para a Rua B.

<F->
Legenda:
  r: representa Rua B
  s: representa Rua A
  ^c?{a{b*=25 m
  ^c?{b{c*=30 m
  ^c?{c{d*=35 m
  ^c?{e{f*=117 m

  r ^E
      ^
      _ ^ 
      _  _^ 
      _  _  ^  
      _  _   _^   
      _  _   _  ^ F
      _  _   _    ^
  s ::j::j:::j:::::j::::
     A B  C    D
<F+>

49. Nessas figuras, o segmento ^c?{a{c* mede 21 m. Calcule as medidas dos segmentos ^c?{a{b* e ^c?{b{c*.
<P>
<F->
a) ^c?{d{e*=6; ^c?{e{f*=8.

                           u 
                       _ ^
                     C_^ 
                     ^_
                   ^  _
               _ ^    _
             B_^      _
             ^_       _
       A_ ^  _       _
         _^    _       _
       ^_     _       _
     ^  _::  _::    _::
   ^    __-_  __-_    __-_
  ------#--#--#--#----#--#--- t
       D_   E_     F_
<P>
b) ^c?{d{e*=5; ^c?{e{f*=7.

    u  _ 
     ^_A  
       _
       _ ^  _  
       _   ^_B
       _     _
       _     _ ^ 
       _     _   ^  _
       _     _     ^_C
       _     _       _^
       _     _       _  ^
       _::  _::    _:: ^ 
       __-_  __-_    __-_   ^ 
  t ---#--#--#--#----#--#-----u
     D_   E_     F_
<F+>

50. Nas figuras a seguir, as retas *t* e *u* so transversais de um feixe de paralelas. Calcule as medidas de x e y.
<F->
a) Legenda: ^c?{a{b*=2; ^c?{b{c*=12; ^c?{c{d*=3; ^c?{a{e*=x; ^c?{e{f*=y; ^c?{f{g*=6.
<P>

     l
  A l
  ----v-------------- 
      l
   B l  E
  ccccpccccccccccccc 
      l   
      l    
   C l      F
  ----v------u------- 
      l       
   D l         G
  ----v---------u----
      l          
      t           u

b) Legenda: ^c?{a{b*=5; ^c?{b{c*=3; ^c?{c{d*=5; ^c?{e{f*=x; ^c?{f{c*=2; ^c?{c{g*=y.
<P>
                    
  A                E
  ----u-----------------
                 
                
      B        F
  --------u-------------
             
  ----------u-----------
         C           
             
              
      D        G
  --------------u--------
                 
                  
     u              t
<F+>

<28>
Desafios e surpresas

3. Num tringulo {a{b{c, M  o ponto mdio do lado ^c?{a{b*. A reta paralela ao lado ^c?{b{c*, que passa por M, corta o lado ^c?{a{c* no ponto N.
  Utilizando o teorema de Tales, demonstre que N  o ponto mdio de ^c?{a{c*.
<P>
4. (Saresp -- adaptada) O galo maior da figura _`[no adaptada_`]  uma ampliao perfeita do menor. Desse fato conclui-se que:
 a) {o{p{o{q={o{p{o{q
 b) ^c?{p{q* mede o dobro de ^c?{p{q*
 c) ~:,?{p{q*  perpendicular a ~:,?{o{p*
 d) ~:,?{p{q* e ~:,?{p{q* no podem ser retas paralelas

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

_`[{um rapaz diz: "Voc sabia? A palavra homotetia indica ampliao ou reduo de uma figura. Deriva do grego como composto de homo (similar) e tetia (posio). Uma homotetia preserva: ngulos e razes entre segmentos de reta."_`]
<R->

               oooooooooooo

<29>
Captulo 2 -- Potncias e 
  razes 

<30>
1- Potncias com expoentes 
  inteiros 

  Imagine a seguinte situao: uma folha de papel foi dividida em 4 partes. A seguir, cada parte foi dividida em 4 partes iguais ainda menores. E isso foi feito mais duas vezes, como nos mostram as figuras _`[no adaptadas_`]. 
<R+>
  Na figura I, a folha tem 4 partes. 
  Como cada parte foi dividida em 4, na figura II temos 4"4=16 partes. 
  Na figura III, a folha tem 16"4, ou seja, 4"4"4=64 partes. 
  Na figura IV, temos 64"4, ou seja, 4"4"4"4=256 
  partes. 
<R->
  O nmero de partes de cada figura pode ser escrito como uma potncia de base 4: 41, 42, 43 e 44. 
<31>
 Recordando 

  Vamos recordar as definies de potncias com expoentes inteiros e bases reais. 
  Com a,_r e n,_z, temos as seguintes definies: 
  an=a"a"a"a"..."a, se n o1 
  a1=a 
  a0=1, se a=0 
  a-n=1an, se a=0

Exemplos 

 1,23=1,2"1,2"1,2=1,728 
  0,50=1
  `(23`)0=1
  2-3=123=18 
  `(12`)-4=1~`(12`)4=
  =1~?116*=16 
 
Ateno

  Convenciona-se que -32 significa -(32)=-(3"3)=-9. 
<P>
  Portanto, no se deve confundir -32 com `(-3)2, que  igual a `(-3)"`(-3)=9. 

Notao cientfica 

  Um uso importante das potncias aparece nos textos cientficos.  a chamada notao cientfica, que serve para abreviar a escrita de nmeros com muitos algarismos. 

Exemplos
 
<R+>
 Escreve-se 2,3"105 em vez de 230.000. Repare que 2,3"105=2,3"100.000=
  =230.000. 
  Escreve-se 4,5"10-7 em 
  vez de 0,00000045. Veja por qu: 4,5"10-7=4,5"1
  10.000.000=4,5"0,0000001=
  =0,00000045. 
<R->

  A representao de um nmero racional na notao cientfica 
<P>
  sempre um nmero entre 1 e 
 10 multiplicado por uma potncia de 10. 

<32>
Atividades

<R+>
1. Efetue: 
 a) 45   
 b) 46   
 c) 24   
 d) `(-2)4
 e) 53
 f) `(-5)3
 g) 4,52
 h) `(-4,5)2
 i) `(#?f`)1
 j) `(-#?f`)1
 k) 70 
 l) 07
 
2. Em quantos tringulos cada uma destas figuras est dividida? D as respostas em forma de potncias. 
<P>
_`[{trs figuras descritas 
  a seguir_`]

 I: Tringulo dividido em quatro tringulos menores e iguais.
 II: Tringulo dividido em dezesseis tringulos menores e iguais.
 III: Tringulo dividido em sessenta e quatro tringulos menores e iguais.

3. Calcule: 
 a) 5-2    
 b) 7-3    
 c) 3-4 
 d) 4-1
 e) 2-2
 f) `(-2)2
 g) 22
 h) `(-2)-2
 i) 10-3
 j) 103
 k) `(-10)3
 l) `(-10)-3

4. Escreva da maneira habitual os nmeros a seguir: 
 a) 1,2"103  
 b) 3,2"10-3  
 c) 3,8"107
 d) 2,71"10-4
 e) 2"105
 f) 1,5"10-4

5. Escreva os nmeros em notao cientfica. 
 a) Distncia mdia da Terra ao Sol: 149.600.000 quilmetros. 
 b) Populao do mundo em 2006: cerca de 6.500.000.000 de habitantes. 
 c) Um raio de luz viaja 9.460.500.000.000 quilmetros durante um ano no espao (ano-
  -luz). 
 d) Um centmetro quadrado  apenas 0,0000000001 do quilmetro quadrado. 
 e) Cinco miligramas correspondem a 0,000005 quilograma. 
 f) O dimetro mdio de um fio de cabelo  0,0001 metro. 
 g) O dimetro mdio de uma bactria  0,000001 metro.

6. A figura I est dividida em 16 partes. E as outras? Indique suas respostas com potncias. 

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<33>
Pensando em casa
 
7. Observe o grfico. 

_`[{grfico adaptado "Produo de petrleo brasileiro refinado (em milhes de barris por dia)"_`]
 Legenda:
  A: 2002
  B: 2003
  C: 2004
  D: 2005
  E: 2006
<P>

<F->
       l
  1,9 r::::::::::::::
       l             _
       l             _
  1,8 r:::::::::::  _
       l          _  _
       l          _  _
  1,7 r::::::::  _  _
       l       _  _  _
       l       _  _  _ 
  1,6 r::::  _  _  _
       l  _  _  _  _  _
       l  _  _  _  _  _
       v--#--#--#--#--#--
         A B C D E
<F+>

BRASIL. Agncia Nacional de Petrleo, Gs Natural e Biocombustveis. Braslia, 2006.

a) Escreva os nmeros da produo diria de petrleo refinado em 2005 e 2006 em notao cientfica. 
 b) Qual  a diferena entre os resultados obtidos no item *a*? 

8. Em certo pas, a nota verde tem o valor de dez notas amarelas; a nota amarela vale dez vermelhas; a vermelha vale dez cinzentas; e a cinzenta, dez moedas. 
 a) Uma nota verde vale quantas notas vermelhas?
 b) Uma nota verde vale quantas notas cinzentas? 
 c) Uma nota verde vale quantas moedas? 
 d) Uma nota amarela vale quantas moedas? 
 e) Uma nota vermelha vale quantas moedas? 
 f) Uma nota amarela vale quantas notas cinzentas?

9. _`[{use a calculadora_`] 
  Responda: 
 a)  verdade que 162=28? 
 b)  verdade que 70=17?

10. No lugar de ..., o que se deve colocar: *=* ou *=*? 
 a) 26...25 
 b) 16...15 
 c) 06...05 
 d) `(-1)6...`(-1)5

11. Efetue: 
 a) 4-3
 b) 5-3 
 c) `(#;c`)-3 
 d) `(-#;c`)-3 
 e) 4-2
 f) 5-2 
 g) `(#;c`)-2 
 h) `(-#;c`)-2 
 i) 4-1
 j) 5-1 
 k) `(#;c`)-1 
 l) `(-#;c`)-1 

<34>
12. Descubra qual  o nmero inteiro que deve ser colocado no lugar de ...:
 a) 2...=16 
 b) 3...=#,i 
 c) 5...=0,2
<P>
13. Em cada item, coloque as 
  potncias dadas em ordem crescente, de acordo com seus resultados: 
 a) `(#,b`)1; `(#,b`)2; 
  `(#,b`)3; `(#,b`)4 
 b) `(-#,b`)1; `(-#,b`)2; `(-#,b`)3; `(-#,b`)4 
 c) 3,5"10-4; 3,5"10-5; 3,5"102; 3,5"103 
 d) 0,022; 0,023; 
  0,02-3; 0,02-2

14. Estrelas como o Sol so constitudas basicamente por hidrognio, o elemento mais abundante no Universo. Uma enorme concentrao desse gs gera presses e temperaturas elevadssimas de mais de 10 milhes de graus centgrados no centro da estrela e 6 mil graus Celsius na superfcie. 

Texto adaptado de Jos Roberto Costa. Disponvel em: ~,www.zenite.nu~, Acesso em: 25 nov. 2005. 
<P>
a) Escreva em notao cientfica os nmeros 10 milhes e 6 mil. 
 b) Qual a diferena de temperatura entre o centro e a superfcie do Sol? 

Desafios e surpresas

1. Mais ou menos por acaso, 
  Camila fez uma observao matemtica: 
  -- Todos os nmeros tm uma quantidade par de divisores! 
  Sua me, que era professora de Matemtica, corrigiu: 
  -- Nem todos. Entre 0 e 20 h quatro nmeros naturais com quantidade mpar de divisores. 
  Camila estudou a situao, viu que era verdade e inventou uma questo muito difcil. Tente encontrar a resposta: 
  -- De 901 at 1.000 existe um nico nmero com quantidade mpar de divisores. Qual ? 
<P>
2. Veja: 1,5...=0,666... 
  No lugar de ..., que nmero inteiro devemos escrever? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<35>
2- Propriedades das potncias 
  com expoentes inteiros 

  Vamos recordar as propriedades das potncias com expoentes inteiros e bases reais no nulas. 

  Para multiplicar potncias 
 de mesma base, mantemos a base 
 e somamos os expoentes: am"an=
 =a?m+n*.

  Por exemplo: 
  24"25=2?4+5*=
  =29=512
  57"5-4=5?7+`(-4)*=
  =53=125
  65"6-6=6?5+`(-6)*=
  =6-1=#,f 
  10-2"10-1=10?-2+
  +`(-1)*=10-3=#,ajjj 

  Para dividir potncias de mesma base, mantemos a base e subtramos os expoentes: aman=a?m-n*.

  Por exemplo: 
  3836=3?8-6*=32=9 
  636-2=6?3-`(-2)*=
  =65=7.776 
  7375=7?3-5*=7-2=
  =#,di
  10-410-6=10?-4-
  -`(-6)*=102=100 

<36>
  Para elevar uma potncia a um expoente, mantemos a base da potncia e multiplicamos os expoentes: `(am`)n=a?m"n*.

  Por exemplo:
  (23)4=2?3"4*=212 
  (2-3)-4=2?`(-3)"`(-4)*=
  =212 
  (23)-4=2?3"`(-4)*=
  =2-12
  (2-3)4=2?`(-3)"4*=
  =2-12 
<P>
  Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente: `(a"b`)m=am"bm. 

  Por exemplo:
  `(3"x`)4=34"x4 
  `(2"x`)-6=2-6"x-6, 
  se x=0 

  Para elevar um quociente a um expoente, elevamos o dividendo e o divisor a esse expoente: 
 `(ab`)m=ambm.

  Por exemplo: 
  `(23`)5=2535
  `(23`)-6=2-63-6

Atividades 

<R+>
15. Escreva na forma de uma nica potncia de base 2: 
 a) 26"2-4
 b) 2-6"24
 c) 2624
 d) 262-4
 e) (23)3 
 f) (24)-1
<P>
16.  verdade que 75"7-5=
  =1? Explique sua resposta.
 17. Calcule o valor de ?(24)5"(23)-2*
  ?2"(25)2*. 
  Resoluo: 
  ?`(24`)5"`(23`)-2*
  ?2"`(25`)2*=?2?4"5*"
  "2?3"`(-2)**?2"2?5"2**=
  =?220"2-6*?21"210*=
  =2?20+`(-6`)*2?1+10*=
  =214211=2?14-11*=
  =23=8 

<37>
18. Agora, calcule voc: 
 a) (73)2"7-4
 b) (113)4(112)5 
 c) ?(32)4"3*36 
 d) ?(133)2"(13-1)3*
  137"(135)-1 

19. Escreva na forma de uma frao irredutvel: 
 a) 310312 
 b) (42)-5(4-3)3 
<P>
 c) ?5-2"5-3*?5-10"
  "58* 
 d) ?`(22`)2"2-3*?36"
  "3-4*

20. _`[{use a calculadora_`] 
  Calcule as potncias e verifique se as igualdades so verdadeiras: 
 a) 26"56=(2"5)6 
 b) 26"56=106 
 c) 26"56=1.000.000

21. Simplifique `(a3b2)4
  `(a2b3)3, sabendo que a=0 e b=0. 
  Resoluo: 
  `(a3b2)4`(a2b3)3=
  =?`(a3`)4"`(b2`)4*
  ?`(a2`)3"`(b3`)3*=
  =?a12"b8*?a6"b9*=
  =a12a6"b8b9=a6"
  "b-1. 
  Portanto, simplificando a expresso, obtemos a6"b-1 
  `( o mesmo que a6b`). 
  Agora, faa voc. Sabendo que a=0 e b=0, simplifique: 
 a) `(a3b2`)5`(a4b4)3 
 b) `(a-2"b`)-5`(a-3"b2)-4 

22. Escreva ?256"47*86 na forma de uma nica potncia de base 2. 
  Resoluo: 
  Inicialmente, vamos decompor 256 em fatores primos: 

<F->
  256 _ 2
  128 _ 2
  64  _ 2
  32  _ 2
  16  _ 2
  8   _ 2
  4   _ 2
  2   _ 2
  1   _
<F+>

  Logo: 256=28. 
  Como 4=22 e 8=23, 
  temos: ?256"47*86=
  =?28"`(22`)7*`(23`)6=
  =?28"214*218=222
  218=24 

23. Escreva cada expresso como uma nica potncia de base 3. 
 a) ?39"9-2*?277"
  "81-5* 
 b) ?3-6"276*2433 

<38>
Pensando em casa
 
24. Escreva cada expresso como uma potncia de base 3: 
 a) 3-4"3-6
 b) 3-43-6
 c) (3-4)4
 d) (33"34)3 
 e) 3-2"3-3"3-4 
 f) 35"3-4"3-3

25. Responda: 
 a)  verdade que 7"75=76? 
 b)  verdade que 70"75=75?

26. No lugar de ..., que nmero inteiro deve ser colocado? 
 a) 712"73=7... 
 b) 7..."73=712
 c) 7...73=712 
 d) `(7...`)3=712
<P> 
27. Calcule: 
 a) `(25"2-6)-2  
 b) 35"`(32`)-2
 c) 4-44-6
 d) `(55-1`)2
 e) ?33"3-4*?3-5"36* 
 f) ?`(55`)5"`(53`)3* 
  ?`(56`)6"`(5-2`)2*

28. Resolva: 
 a) `(112"134`)3
  `(113"135`)2 
 b) ?`(2-4`)2"`(5-2`)-3*
  ?2-3"2-11*
 c) 3434713
 d) ?`(42`)4"4-5*
  ?210"2-2*

29. Escreva como uma 
  nica potncia de base 5: `(512"25-3"625-2)-3 

Desafios e surpresas

3. Veja: 220+210...221. No lugar de ..., o que se deve escrever: **, *=* ou *o*? 
 
_`[{o aluno pergunta para a professora: "Como comparar 220+
  +210 e 221?" A professora responde: "Escreva 221 como soma de duas parcelas."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<39>
3- Raiz quadrada. Raiz cbica.
  Raiz ensima 

Raiz quadrada 

  Nos anos anteriores, j estudamos a raiz quadrada. Vimos que, sendo *a* um nmero real, com ao=0, a raiz quadrada de *a*  o nmero real *b*, no negativo, tal que b2=a. 
  Tambm vimos que, em _r, no existe raiz quadrada de nmero negativo. 
  Por exemplo: 
<R+>
  49=7, porque 72=7"
  "7=49 e 7 no  negativo. 
  -49 no existe em _r, porque no existe nmero real que, ele-
<P>
  vado ao quadrado, d -49. 
  Observe ainda que: 
  -49=-7, porque -49 indica o oposto de 49. 
<R->

Raiz cbica 

  A raiz cbica de um nmero real *a*  um nmero real *b* tal que b3=a. 
  Por exemplo: 
<R+>
  3-8=-2, porque `(-2)3=`(-2)"`(-2)"`(-2)=-8.
  31.000=10, porque 103=10"10"10=1.000.
  Observe ainda que:
  -3-8=-`(-2)=2 
  -31.000=-10
<R->

Raiz ensima 

  A raiz de ndice par (raiz quadrada, raiz quarta, raiz sexta etc.)  definida de maneira semelhante  raiz quadrada; a raiz de ndice mpar (raiz cbica, raiz quinta etc.), de maneira semelhante  raiz cbica. 
  Veja estes exemplos: 
<R+>
  481=3, porque 34=3"3"
  "3"3=81 e 3 no  negativo.
  4-81 no existe em _r, porque no existe nmero real que, elevado  quarta, d -81.
  5-32=-2, porque `(-2)5=
  =`(-2)"`(-2)"`(-2)"`(-2)"`(-2)=
  =-32.
<40>
  532=2, porque 25=2"2"
  "2"2"2=32.
  6-1 no existe em _r.
  7-1=-1, porque `(-1)7=
  =`(-1)"`(-1)"`(-1)"`(-1)"`(-1)"
  "`(-1)"`(-1)=-1.

Atividades

30. Calcule as razes quadradas: 
 a) 4  
 b) 25  
 c) -64  
 d) 100 
 e) -225
 f) 441 
 g) -784
 h) 1
<P>
31. Agora, d o valor das razes cbicas. 
 a) 38  
 b) 327  
 c) 3-64 
 d) 3216
 e) 3-1.000
 f) 31 

32.  verdade que tanto a raiz quadrada de 0 como a raiz cbica de 0 so iguais a 0? 

33. Apenas diga se existe ou no, em _r, a raiz quadrada de: 
 a) -16  
 b) 16  
 c) 81  
 d) -81  
 e) 10
 f) -10
 g) 0
 h) 1.000
<P>
34. Diga se existe ou no, em _r, a raiz cbica de: 
 a) -125  
 b) 125  
 c) -27  
 d) 27  
 e) -1
 f) 3
 g) -4
 h) -8

35. Calcule as razes. 
 a) -25  
 b) 3-64  
 c) -3-64  
 d) -3400 
 e) -327 
 f) 3-1
 g) -31
 h) -3-1

36.  verdade que tanto a raiz quadrada real de -1 como a raiz cbica real de -1 so iguais a -1? Explique sua resposta. 
<P>
37. _`[{use a calculadora_`] 
  (Saresp) Marcando corretamente na reta numerada os pontos correspondentes aos nmeros 3 e 5, percebemos que: 

<F->
  ::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::>
   -1  0  1  2  3  4  5
<F+>

 a) 3 est entre 0 e 1.  
 b) 5 est entre 1 e 2.  
 c) 5 est entre 3 e 4.
 d) 3 est entre 1 e 2.

38. Calcule: 
 a) 3125  
 b) 3-27  
 c) -416  
 d) 5-243  
 e) -5-32
 f) -481
 g) 17-1
 h) 180

39. Calcule:
 a) 3?827*
 b) 4?8110.000*
 c) 5?-1243*
 d) 6?72964*

40. Diga se, em _r, existe: 
 a) a raiz quadrada de 10; 
 b) a raiz cbica de -10; 
 c) a raiz quarta de -10; 
 d) a raiz quinta de -11; 
 e) a raiz sexta de -11; 
 f) a raiz dcima primeira de 11.

41. Verifique se: 
 a) 90  maior, menor ou 
  igual a 9; 
 b) 3100  maior, menor ou igual a 5. 
  Resoluo: 
<F->
a) 92=81
    102=100
    90 est entre 9 e 10.
    Portanto, 90  maior 
    que 9.    
b) 53=125
    43=64
    3100 est entre 4 e 5.
    Portanto, 3100  menor 
    que 5.
<F+>

42. No lugar de ..., deve-se escrever **, *=* ou *o*? 
 a) 50...25 
 b) 1.000...32 

<41>
Pensando em casa
 
43. Calcule: 
 a) 64  
 b) 364
 c) 1.000.000
 d) 31.000.000
 e) 729
 f) 3-729 
 g) -3-729 
 h) -729

44. Diga se, em _r, existe: 
 a) a raiz quadrada de 6; 
 b) a raiz quadrada de -6; 
 c) a raiz cbica de 5; 
 d) a raiz cbica de -5.

45. Em cada caso, encontre o valor de x, de modo que: 
 a) x=5  
 b) 3x=5  
 c) x=11 
 d) 3x=11
 e) ?x+1*=3
 f) 3?x-1*=3

46. (Saresp) A representao aproximada do nmero 18 na reta numerada  o ponto A, localizado em: 

<F->
       A
a) :w:o:w:::w:::w:::w:::w:::w::>
     3   4  5  6  7  8  9  

           A
b) :w:::w:o:w:::w:::w:::w:::w::>
     3  4   5  6  7  8  9  

                 A 
c) :w:::w:::w:::o:::w:::w:::w::>
     3  4  5  6   7  8  9  

                             A
d) :w:::w:::w:::w:::w:::w:::o::>
     3  4  5  6  7  8  9
<F+>
<P> 
47. _`[{use a calculadora_`] 
  (Saresp) Complete a tabela: 

<F->
   x    l 3x
  ::::::r:::::::
  -64  l  ...
   ...  l  10
  -125 l  ...
   ...  l  6
   ...  l -1
<F+>

48. Diga se  verdade: 
 a) Para todo n,_n, com n o1, tem-se n1=1. 
 b) Para todo n,_n, com n o1, tem-se n0=0. 
 c) Para todo n,_n, com n o1, tem-se n-1=-1.

49. No lugar de ..., o que se deve colocar: ** ou *o*? 
 a) 330...5  
 b) 330...4  
 c) 330...3 
 d) 420...2
 e) 420...3
 f) 420...4

50. _`[{use a calculadora_`] 
  Encontre n,_n, de modo que: n5100n+1

51. Decomponha 4.096 em fatores primos. Depois, calcule: 
 a) 34.096 
 b) 44.096
 c) 64.096
 d) 124.096 

Desafios e surpresas

4. Com x,_r, quantas solues distintas tem cada uma destas equaes? 
 a) x2=4  
 b) x2=0  
 c) x2=-4  
 d) x2=7  
 e) x3=7 
 f) x3=-7
 g) x3=0
 h) x3=-1
 i) x2=-1.
  Qual  o conjunto soluo de cada equao?

5. D um exemplo em que: 
 a) a raiz quadrada de um nmero seja igual ao prprio nmero; 
 b) a raiz quadrada de um nmero seja maior que o prprio nmero; 
 c) a raiz cbica de um nmero seja maior que o prprio nmero. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<42>
4- Propriedades das razes 

  Neste item vamos tratar de algumas propriedades das razes. 
 Elas sero usadas para facilitar clculos aritmticos ou algbricos. 

Uma ideia fundamental 

  Inicialmente, vamos destacar um fato que voc conhece: extrair uma raiz cbica e elevar ao cubo so operaes inversas. Assim, uma operao anula a outra. 
  Por exemplo, se extrairmos 
 a raiz cbica de 8 `(que  2`) 
 e elevarmos o resultado ao cubo, vamos obter 8. Assim, mesmo 
 se no soubssemos qual  a 
 raiz cbica de 8, saberamos 
 que `(38`)3=8. 
  Podemos tambm fazer essas operaes na ordem contrria. Se elevarmos um nmero ao cubo e extrairmos a raiz cbica, vamos obter o nmero inicial. Assim, 353=5. E nem precisamos calcular 53 para saber o resultado. 
  Demos exemplos para o caso das razes cbicas, mas essas ideias valem para razes de ndice *n* (sendo *n* nmero natural maior do que 1). Por isso, estabelecemos o seguinte: 

  Quando a,_r+, n,_n e n o1, tem-se: `(na`)n=a.

  O smbolo _r+ indica o conjunto dos nmeros reais no negativos, ou seja, todos os positivos mais o zero. 
<P>
Curiosidades

  Os matemticos rabes, por volta do sculo X, pensavam nos quadrados perfeitos com nmeros que vinham de algum lugar. Por exemplo, 25 vinha de 5, assim como uma rvore vem de uma raiz. Essa interpretao levou esses matemticos a dizerem que 5 era raiz de 25. 
  Esse nome se espalhou e passou para outras razes `(cbicas, quartas etc.`), tanto que nos livros de Matemtica do sculo XV, a raiz era indicada por R. Por exemplo, R25 valia 5. Entretanto, em 1525, o matemtico alemo Cristoff Rudolff props o smbolo , que, aos poucos, acabou aceito por todo mundo. 

<43>
Propriedade 1 

  Esta propriedade se refere ao produto de duas razes de mesmo ndice. 

  Quando a,_r+, b,_r+, n,_n e n o1, tem-se: na"nb=nab.

  Por exemplo: 
  3"5=?3"5*=15 
  32"311=3?2"11*=
  =322 

  Veja como se demonstra essa propriedade. 
  Inicialmente, vamos demonstrar que 42"45=410. 
  Essa demonstrao  feita com um artifcio: vamos mostrar que 42"45 e 410 elevados  quarta so iguais: 
  `(42"45`)4=`(42`)4"
  "`(45`)4=2"5=10
  `(410`)4=10.
  Portanto: `(42"45`)4=
 =`(410)4. 
  Agora, uma observao: s existem duas possibilidades para que dois nmeros, ambos elevados  quarta, tenham resultados iguais: esses dois nmeros so iguais ou ento so opostos. 
  Temos `(42"45)4=
 =`(410)4 e sabemos que 42"45 e 410 so nmeros reais positivos. Logo: 42"45=410. 
  Da mesma forma, para mostrar que na"nb=n?a"b*, com a,_r+ e b,_r+, elevando-se  ensima potncia os dois membros da igualdade, conclui-se que na"nb  igual a n?a"b*. 

<44>
Propriedade 2 

  Esta propriedade se refere  diviso de duas razes de mesmo ndice. 

  Quando a,_r+, b,_r+*, n,_n e n o1, tem-se: nanb=n?ab*. 

  O smbolo _r+* indica os nmeros reais positivos. Portanto, 0,_r+*.
  Por exemplo: 
  52=?52*
  5257=5?27*.
  Para mostrar que nanb=
 =n?ab*, com a,_r+ e b,_r+*, basta elevar esses dois nmeros  ensima potncia. 

Propriedade 3 

  Esta propriedade se refere  raiz de uma raiz. 

  Quando a,_r+, m,_n, 
 n,_n, m o1 e n o1, tem-se: m?na*=mna. 

  Por exemplo: 
  ?81*=481
  ?364*=664
  3?410*=1210.
  Vemos ento que a raiz de uma raiz pode ser transformada em uma nica raiz, cujo ndice  o produto dos dois ndices anteriores. Mas ser que isso  verdade? 
   verdade sim, porque podemos demonstrar esse fato. 
  Inicialmente, demonstraremos que 3?22*=62. 
<P>
  Primeiro, temos: `(62`)6=2.
  Depois, lembramos que para elevar a 6 podemos comear elevando a 3, e depois elevar a 2.  uma propriedade das potncias. Por isso, temos: `(3?22*`)6=
 =`(3?22*`)32=
 =222=2.
  Portanto, demonstramos a igualdade do exemplo. 
  Para provar o mesmo fato no caso geral, com radicando *a* e ndices *m* e *n*, o raciocnio  o mesmo e, por isso, no vamos repeti-lo. 

<45>
Propriedade 4 

  Nesta propriedade temos a raiz de uma potncia: man, com a,_r+. Veremos que seu valor no muda quando multiplicamos o ndice da raiz e o expoente da potncia por um mesmo nmero. 
<P>
  Quando a,_r+, m,_n, n,_n*, p,_n* e m o1, tem-se: man=
 =mpanp. 

  O smbolo _n* indica os nmeros naturais exceto o zero. 
  Por exemplo: 
<R+>
  352=3"25?2"2*. Logo, 352=654.
  473=4"57?3"5*. Logo, 473=20715.
<R->
  Para mostrar que man=
 =mpanp, com a,_r+, essas duas razes podem ser elevadas ao expoente mp. Os resultados obtidos devero ser iguais. Tente fazer isso. 
  Veja como essa propriedade pode ser usada. 
  Para simplificar uma raiz do tipo man, dividimos *m* e *n* por um divisor comum. Veja estes exemplos: 
  654=352
  20715=473
<P>
Atividades 

<R+>
52. Efetue: 
 a) 3133  
 b) `(313`)3 
 c) 7a7, com ao0
 d) `(a`)2, com ao0

53. Efetue, sabendo que os resultados so nmeros naturais: 
 a) 2"8  
 b) 42"48
 c) 31632
 d) 362535  

54. Simplifique os radicais: 
 a) 5?37* 
 b) 5210 
 c) 3?64*
 d) 422
 
55. _`[{use a calculadora_`] 
 a) Se voc efetuar na calculadora 2 e 5 e, depois, multiplicar os resultados, obter o mesmo que 10? Por qu? 
<P>
 b) Faa na calculadora as operaes descritas na questo anterior. Compare os resultados e escreva um comentrio.

56. Diga se, em _r, existe: 
 a) a raiz quadrada de 13; 
 b) a raiz cbica de -27; 
 c) a raiz quarta de -27; 
 d) a raiz quinta de -32.

57. Esta afirmao  inteiramente falsa: ?9+16*=9+16. Explique por qu. 

<46>
Pensando em casa

58. Encontre o valor de *n* em cada igualdade seguinte: 
 a) 87n=7 
 b) ?n110*=12110 
 c) ??a**=na 
 d) `(n2`)8=4 

59. Efetue, sabendo que os resultados so nmeros inteiros. 
 a) 7?3-1* 
 b) 3163-2
 c) `(73`)14 
 d) 317"3172 

60. Simplifique os radicais: 
 a) 425 
 b) 532 
 c) 61.000 
 d) 20256

61. Use uma calculadora comum e obtenha o valor de 86.561. Depois, explique como voc procedeu. 

_`[{a menina diz: "Veja que interessante: sei fazer 8 na calculadora, embora ela s tenha a tecla "_`]

62. Simplifique: 
 a) ?14"15*6 
 b) ?39"310*?311"
  "312*
 c) 3?8* 
 d) ???100+36***
<P>
63.
 a) Mostre que 2+3=
  =?2+3* elevando cada membro da igualdade ao quadrado. 
  Ateno: no primeiro membro voc ter um produto notvel, chamado de quadrado da soma. 
 b) Se *a* e *b* so reais positivos, sempre teremos a+b=
  =?a+b*. Prove esse fato. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<47>
5- Extrao e introduo de 
  fatores no radicando 

Extrao de fatores do radicando 

  Quando o radicando tem fatores com expoentes iguais ou maiores que o ndice da raiz, esses fatores podem ser extrados do radicando. Veja estes exemplos: 
<R+>
  3?23"35*=3?23"
  "33"32*=323"
  "333"332=2"3"
  "332=639
<P>
  ?52"77*=?52"72"
  "72"72"7*=52" 
  "72"72"72"7=
  =5"73"7=1.7157
  396=3?25"3*=
  =3?23"22"3*=323"
  "3?22"3*=2312
<R->
 
Introduo de fatores no 
  radicando 

  Quando temos um nmero multiplicando uma raiz, podemos introduzir esse nmero no radicando. O nmero introduzido  elevado ao ndice da raiz. Veja: 
  27=?22"7*=28 
  5310=3?53"10*=
  =31.250
  1042=4?104"2*=
  =420.000

<48>
Atividades

<R+>
64. Faa a extrao de fatores do radicando: 
 a) ?22"5*   
 b) 3?2"53*  
 c) 5?25"33*  
 d) 4?35"58*  
 e) ?25"33"56*
 f) ?211"37"5*
 g) 4?221"311*
 h) 10?243"523*

65. Simplifique: 
 a) 18  
 b) 20  
 c) 31.296  
 d) 41.250 
 e) 112
 f) 31.152
 g) 41.296
 h) 105.120

66. Introduza os fatores no radicando: 
 a) 23  
 b) 25  
 c) 233  
 d) 235 
 e) 532
 f) 253
 g) 1042
 h) 1052
<P>
67. Escreva numa destas formas: ..., 3...: 
 a) 65  
 b) 72  
 c) 115 
 d) 534
 e) 434
 f) 4315

Pensando em casa 

68. Faa a extrao de fatores do radicando: 
 a) ?2"73*  
 b) ?32"53*  
 c) 3?32"53"7*  
 d) 10?2"1013* 
 e) ?28"34"53*
 f) 3?27"38"52*
 g) 3?24"54"74*
 h) 4?39"53"11*

69. Simplifique: 
 a) 8  
 b) 12  
 c) 50  
 d) 324 
 e) 354
 f) 5352
 g) 2.352
 h) 3384

70. Considere *a*o=0 e *b*o=0 e extraia os fatores do radicando: 
 a) ?a3b2*  
 b) ?a6b9*  
 c) 3?a4b6*
 d) 3?a10b20*
 e) 4?a3b10*
 f) 4?a351b*

71. Introduza os fatores no radicando: 
 a) a3b  
 b) a23b  
 c) b5?a2b*  
 d) a2b5ab4
 e) a2b33ab2
 f) a2b35ab2

72. No lugar de ..., o que devemos escrever: **, *=* ou *o*? 
 a) 20...520 
 b) 470...370
 c) 71...1
 d) 32...2

Desafios e surpresas

6. No lugar de ..., o que devemos escrever: **, *=* ou *o*? 
 a) 50...50  
 b) 0,5...0,5  
 c) 350...50 
 d) 30,5...0,5
 e) 450...750
 f) 40,5...70,5 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<49>
6- Expresses com razes 

  Vamos trabalhar com expresses em que as razes no devem ser extradas. 
  O motivo  que nmeros como 2 e 3, por exemplo, so 
 irracionais, isto , tm represen-
 tao decimal infinita e no peridica. Por isso, em vez de fazer, por exemplo, 2"3^=
 ^=1,4142135..."1,732058...^=
 ^=2,449489...,  mais sensato indicar 2"3=6. 

Adio e subtrao 

  No existem propriedades que se referem  adio e  subtrao de razes com ndices iguais. Por exemplo, 2+5 e 314-
 -32 so resultados que no 
 podem ser escritos de modo mais simples. 
  S em casos especiais  que se pode simplificar uma soma ou uma diferena de razes com ndices iguais. Veja isso nos exemplos: 
<R+>
  8+18=23+?2"
  "32*=22+32=52
  3135-340=3?33"
  "5*-3?23"5*=335-
  -235=35.
<R->
  Tambm no existem propriedades para extrair parcelas no radicando ou introduzir parcelas nele. Por exemplo, 2+7 e 3-35 no podem ser escritos de modo mais simples. 
<P>
Multiplicao e diviso 

  J vimos as propriedades que se referem  multiplicao e  diviso de razes com ndices iguais. 
Sabemos, por exemplo, que: 
  3"10=30
  31833=36
  3402=3?408*=35

Atividades 

<R+>
73. As somas a seguir sero simplificadas. Copie os clculos, completando-os. 
 a) 28+63=?22"7*+
  +?32"7*=...7+7...=... 
 b) 354-316=3?33"
  "2*-3?..."2*=...-
  -...32=... 

74. Agora, voc calcula sem 
  ajuda: 
 a) 24+96 
 b) 44-99 
<P>
 c) 3500-34 
 d) 3192-`(324-33`) 

<50>
75. No lugar de ..., o que devemos escrever: **, *=* ou *o*? 
 a) 10+6...16 
 b) 10-6...4

76. Vamos calcular: 
 a) 5`(6+7`) 
 b) 3`(3+2`). 
  Resoluo: 
 a) 5`(6+7`)=5"6+
  +5"7=30+35 
 b) 3`(3+2`)=`(3`)2+
  +23=3+23. 
  Agora, calcule voc: 
 a) 7`(7+2`) 
 b) 2`(32-5`)
  E um diferente para terminar: 
 c) 33`(372+33`) 
 
77. Efetue tambm: 
 a) 2+2 
 b) 22
 c) 2-2
 d) 2"2
 e) 12+3 
 f) 12-3 
 g) 12"3
 h) 123
 i) 316-32 
 j) 316+32
 k) 316"32
 l) 31632 

78. Calcule: `(2+5`)`(8+
  +125`). 
  Resoluo:
  `(2+5`)`(8+125`)=2"
  "8+2"125+5"8+
  +5"125=16+250+40+
  +625=24+?2"53*+
  +?23"5*+54=22+
  +510+210+52=4+25+
  +510+210=29+710.
  Agora, faa voc: 
 a) `(3+2`)`(27-2`) 
 b) `(5+2`)`(7-2`)
 c) `(10-3`)`(2+5`) 
 d) `(3+23`)`(5-33`)
<P>
79. Vamos calcular: 
 a) `(2+3`)2
 b) `(7+2`)`(7-2`)
  Resoluo: 
 a) `(a+b`)2=a2+2ab+b2 
  `(2+3`)2=`(2`)2+
  +223+`(3`)2=2+26+
  +3=5+26
 b) `(a+b`)`(a-b`)=a2-b2
  `(7+2`)`(7-2`)=
  =`(7`)2-`(2`)2=7-2=5.
  Agora, faa voc: 
 a) `(5+1`)2  
 b) `(210-3`)2
 c) `(3+1`)`(3-1`)
 d) `(17+3`)`(17-3`)
 
80. A expresso `(34+
  +32)`(32-1) parece monstruosa? No , no! Mostre que ela  igual a 2-32. 
<51>
 81. A expresso ?8+60* parece muito diferente da expresso 5+3. No entanto, as duas so iguais! Mostre que 
  isso  verdade. 
  Sugesto: eleve ao quadrado cada uma delas; aps alguns clculos, voc ver que os resultados sero iguais!

Pensando em casa

82. Efetue: 
 a) 320+20-180 
 b) 31.250+380-3270 
 c) 33`(39-2`) 
 d) 2+8+32+128 
 e) 2"8"32"128 
 f) 6"15+40 
 g) 3256+3128+332-
  -316-34-32
 h) 3256"3128"332"
  "316"34"32

83. Quais das seguintes igualdades so corretas? 
 a) 20+5=25 
 b) 20+5=45
 c) 20"5=10
 d) 20-5=15
 e) 20-5=5
 f) 205=2
 g) ?2+32*=32
 h) ?22+32*=5
 i) ?22"32*=6
 j) 5-3=?52-3*
 
84. Calcule: 
 a) 3`(54-6`) 
 b) 312`(318+32`)
 c) `(55+4`)`(5-2`)
 d) 55+4`(5-2`)
 e) `(10-3`)`(5-2`)
 f) `(34+2`)`(32-1`)
 g) `(33+1`)`(39-33`)
 h) `(30+5`)2
 i) `(30+5`)2

85. (Saresp) Efetuando as operaes `(32+18`)"`(2`), obtemos o resultado: 
 a) 2 
 b) 8 
 c) 10 
 d) 14

86. Mostre que a expresso ?6-25*  igual a 5-1. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<52>
<P>
7- Racionalizao de 
  denominadores 

  Considere como exemplo o nmero 13. Sabemos que, multiplicando o numerador e o denominador por um mesmo nmero (diferente de zero), no alteramos o seu valor. Veja: 13=?1"3*?3"
 "3*=33.
  Assim, 13 e 33 tm resultados iguais. 
  Vamos conferir:
<R+>
  Como 3=1,73205..., para encontrar o valor aproximado de 33, efetuamos: 1,732053=0,57735 resto 0.
  Agora, para encontrar o valor aproximado de 13, efetuamos: 1,0000001,73205=0,57735 resto 0,0000009325.
<R->
  Nas duas divises encontramos o mesmo quociente: 0,57735. No entanto, a primeira diviso  muito menos trabalhosa que a segunda. Por isso,  comum se transformar 13 em 33. Uma transformao como essa, que elimina a raiz do denominador, chama-se 
 racionalizao do denominador. 

<53>
Exemplo

  Vamos racionalizar o denominador de 27. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por 7: 27=27
 ?7"7*=277.

Atividades 

<R+>
87. Racionalize o denominador de: 
 a) 36 
 b) 45
 c) 1421
 d) 832
 e) 767
 f) 1711

88. Responda: 
 a)  verdade que 3131=
  =31? Por qu? 
 b)  verdade que 27+17=
  =?2+7*7? 
<P>
89. Racionalize o denominador de: 
 a) 454
 b) 483.
  Resoluo: 
 a) Observando que 54=
  =522, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 523. Acompanhe: 454=4522=
  =?4"523*?522"
  "523*=458525=
  =4582=258
 b) Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 837. Acompanhe: 483=
  =?4837*?83"
  "837*=4837
  838=4837
  3=482.1873

90. Considere a expresso 2311. Agora, multiplique o numerador e o denominador por 311. 
 a) A nova expresso tem o mesmo valor da expresso inicial? 
 b) A nova expresso tem alguma raiz no denominador? 
 c) Esse  um modo certo de racionalizar o denominador da expresso inicial?

91. Considere novamente a ex-
  presso 2311. Agora, multiplique o numerador e o denominador por 3112. 
 a) A nova expresso tem o mesmo valor da expresso inicial? 
 b) Na nova expresso, o denominador  um nmero racional? 
 c) Esse  um modo certo de racionalizar o denominador da expresso inicial?

92. Racionalize o denomi-
  nador de: 
 a) 1433
 b) 352
 c) 57
 d) 11033
 e) 1349
 f) 20832
<P>
93. Mais uma vez, considere a expresso 2311. Agora, eleve ao cubo o numerador e o denominador. 
 a) A nova expresso tem o mesmo valor da expresso inicial? 
 b) Na nova expresso, o denominador  um nmero racional? 
 c) Esse  um modo certo de racionalizar o denominador da expresso inicial?

94. Racionalize o denominador de: 
 a) 3655
 b) 47527
 c) 541.000
 d) 3632

<54>
95. Agora, racionalize o denominador de: 
 a) 6?5+1*
 b) ?10-3*?5-2*
  Resoluo: 
 a) Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 5-1. Escolhemos esse nmero porque lembramos do produto notvel: `(a+b`)"`(a-b`)=a2-b2. Esses quadrados eliminaro a raiz. Veja: 6?5+1*=?6`(5-
  -1`)*?`(5+1`)`(5-1`)*=
  =?6`(5-1`)*?`(5`)2-
  -12*=?6`(5-1`)*?5-1*=
  =?3`(5-1`)*2 
 b) Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 5+2. Acompanhe: ?10-3*?5-
  -2*=?`(10-3`)`(5+2`)*
  ?`(5-2`)`(5+2`)*=
  =?50+20-35-32*
  ?`(5`)2-`(2`)2*=?52+
  +25-35-32*?5-2*=
  =?22-5*3

96. Considere a expresso 3?7+2*. Agora, multiplique o numerador e o denominador por 7. 
 a) A nova expresso tem o mesmo valor da expresso inicial? 
 b) A nova expresso tem alguma raiz no denominador? 
<P>
 c) Esse  um modo certo de racionalizar o denominador da expresso inicial?

97. Responda s perguntas do exerccio anterior, supondo agora que o numerador e o denominador sejam multiplicados no por 7, mas por 7+2.

98. Considere novamente a expresso 3?7+2*. Agora, multiplique o numerador e o denominador por 7-2. 
 a) A nova expresso tem o mesmo valor da expresso inicial? 
 b) Na nova expresso, o denominador  um nmero racional? 
 c) Esse  um modo certo de racionalizar o denominador da expresso inicial?

99. Racionalize o denomi-
  nador de: 
 a) 15?4-10*
 b) 1?7-2*
 c) 11?11-11*
 d) 3?10+1*
 e) 2?32-1*
 f) ?7+1*?7-2*

<55>
Pensando em casa

100. Racionalize o denomi-
  nador de: 
 a) 12
 b) 210
 c) 315
 d) 533
 e) 1525
 f) 25630
 g) 2010
 h) 52

101. Faa os clculos, usando seu conhecimento sobre as operaes com radicais, e prove que a expresso ?4044*~
  ~?45-3?55**  igual 
  a 1. 
  Ateno: No  preciso racionalizar o denominador.

102. E, para terminar, racionalize o denominador de: 
 a) 1?3+2* 
 b) 7?60+5*
 c) 1?5-3*
 d) 6?13-10*
 e) 5?5+15*
 f) ?3-2*?3+2* 
 g) 3?9-3*
 h) 7?8-15*
 i) 2?2-1*
 j) 1?22+21*
 
Desafios e surpresas

7. Efetue: 
  ?3+5*"?3-5* 

8. Racionalize o denominador de: 
 a) 1?2+2+6*
 b) 2?3+2-5*

_`[{um aluno e sua professora conversam: "J entendi! Racionalizar os denominadores  o mesmo que eliminar a raiz dos denominadores..." Fala o aluno. "Isso mesmo! E para racionalizar usam-se muito as regularidades dos produtos notveis..." Explica a professora._`]
<R->

<56>
Ao sobre potncias e razes 

Explorando a calculadora 

  Esta ao deve ser preparada com antecedncia, pois sero necessrias algumas calculadoras cientficas, que tm a tecla xy ou yx. 
  O professor orientar a formao de grupos. 
  Cada grupo, com sua calculadora, dever fazer um relatrio sobre as seguintes questes: 
<R+>
 1) O grupo faz alguns testes para descobrir como se calculam as razes quadradas e calcula 0,4. 
 2) Na calculadora, o grupo digita um nmero positivo. Depois, extrai a raiz quadrada dele; a seguir, a raiz quadrada do resultado; e assim por diante, muitas vezes. 
  O que o grupo notou? 
  Isso tambm aconteceria se, inicialmente, o nmero digitado fosse 0,4? 
  Isso acontece sempre? Por qu? 
 3) O que o visor indica quando se calcula -4? Por qu? 
 4) Calculando primeiro 3"5 e a seguir 15, o que o grupo notou? Por que isso acontece? 
 5) O grupo descobre como se usa a tecla xy ou yx para calcular potncias. 
  Calculando 497, o que aparece no visor? O que isso significa? Afinal, quanto d 497? 
 6) O grupo descobre como se calculam razes stimas e depois calcula 79. 
 7) Para calcular 47-5, que teclas devem ser pressionadas 
  e em que ordem? Quanto d 47-5? 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte
